dua keluarga yang masing-masing terdiri dari 2 orang dan 3 orang ingin foto bersama. banyak posisi foto yang berbeda dengan anggota keluarga yang sama selalu berdampingan adalah

Pertanyaan

Dua keluarga masing masing terdiri dari 2 orang. Apabila 3 orang ingin berfoto bersama dengan anggota keluarga yang sama selalu berdampingan, maka banyak posisi foto yang berbeda adalah

Jawaban:

nPr = n! / ( n - r )!

Keluarga 1 = 2 Orang ...

2P2 = 2! / ( 2 - 2 )!

2P2 = 2! / 0!

2P2 = 2 . 1 / 1

2P2 = 2 .....

Keluarga 2 = 3 Orang ...

3P3 = 3! / ( 3 - 3 )!

3P3 = 3! / 0!

3P3 = 3 . 2 . 1 / 1

3P3 = 6 .....

Permutasi Berdampingan = 2 Keluarga.

2P2 = 2! / ( 2 - 2 )!

2P2 = 2! / 0!

2P2 = 2 . 1 / 1

2P2 = 2 .....

Maka, banyak caranya adalah :

= 2P2 × 3P3 × 2P2

= 2 × 6 × 2

= 24 Cara ....

Permutasi dalam Matematika: Menari dengan Kombinasi Angka dan Kemungkinan

Hello, Sobat Motorcomcom!

Mari kita memasuki dunia yang penuh dengan kombinasi dan kemungkinan, yakni dunia permutasi dalam matematika. Bukan hanya sekadar rangkaian angka, permutasi membawa kita ke dalam tarian kompleks di antara bilangan-bilangan, membuka pintu menuju segala kemungkinan yang mungkin terjadi. Dalam artikel ini, kita akan mengeksplorasi makna, rumus, dan aplikasi permutasi. Siap untuk bergabung dalam petualangan matematika yang seru? Mari kita mulai!

Permutasi, pada dasarnya, adalah cara mengatur atau mengurutkan suatu himpunan objek atau angka. Bayangkan jika kita memiliki tiga angka: 1, 2, dan 3. Berapa banyak cara kita dapat menyusun angka-angka ini? Nah, inilah tempat permutasi masuk ke dalam permainan.

Secara matematis, permutasi dari himpunan n objek diurutkan dalam r adalah \( nPr = \frac{n!}{(n-r)!} \), di mana n! (n-faktorial) adalah hasil perkalian semua bilangan bulat positif dari 1 hingga n.

Sobat Motorcomcom, mari kita lihat contoh sederhana untuk mengklarifikasi konsep permutasi. Jika kita punya empat buah apel (A, B, C, D), berapa banyak cara kita dapat menyusun apel-apel tersebut secara berurutan? Jawabannya adalah 4!, karena ada 4 faktorial cara kita dapat menyusun keempat apel tersebut. Sehingga, \(4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24\).

Namun, tidak semua permutasi berurutan. Bagaimana jika kita hanya ingin tahu berapa banyak cara kita dapat memilih dua apel dari empat apel tersebut, tanpa memperhatikan urutan mereka? Di sinilah konsep kombinasi masuk ke dalam gambar.

Kombinasi, yang diwakili oleh \( nCr = \frac{n!}{r!(n-r)!} \), adalah cara untuk menghitung berapa banyak cara kita dapat memilih r objek dari himpunan n objek tanpa memperhatikan urutan. Jadi, jika kita ingin tahu berapa banyak cara kita dapat memilih dua apel dari empat apel (tanpa memperhatikan urutan), kita dapat menggunakan rumus kombinasi.

Misalnya, kita ingin memilih dua apel dari empat apel (A, B, C, D). Berapa banyak kombinasi yang mungkin? Menggunakan rumus kombinasi, kita dapat menghitung \(4C2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = 6\). Jadi, ada enam cara yang berbeda untuk memilih dua apel dari empat apel tersebut.

Sobat Motorcomcom, sekarang mari kita melangkah lebih jauh dan menerapkan konsep permutasi dan kombinasi dalam konteks dunia nyata. Misalnya, kita memiliki lima buah buku yang ingin kita susun di atas rak buku. Berapa banyak cara kita dapat menyusun lima buku tersebut?

Jawabannya adalah \(5! = 120\), karena ada 5 faktorial cara kita dapat menyusun lima buku tersebut. Setiap susunan akan memberikan tatanan buku yang unik di rak.

Bagaimana jika kita hanya ingin memilih tiga buku untuk dibaca tanpa memperhatikan urutan? Di sini kita akan menggunakan rumus kombinasi. \(5C3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = 10\). Jadi, ada sepuluh cara yang berbeda untuk memilih tiga buku dari lima buku tersebut.

Sobat Motorcomcom, permutasi dan kombinasi juga seringkali muncul dalam dunia permainan kartu. Bayangkan jika kita memiliki setumpuk kartu remi dan ingin tahu berapa banyak cara kita dapat menyusun lima kartu untuk tangan poker. Ini adalah contoh klasik dari permutasi.

Untuk menghitungnya, kita menggunakan rumus permutasi. Jumlah kartu dalam setumpuk remi adalah 52, dan kita ingin menyusun lima kartu. Jadi, \(52P5 = \frac{52!}{(52-5)!} = 311,875,200\). Ada lebih dari 311 juta cara yang berbeda untuk menyusun lima kartu dari setumpuk remi tersebut.

Sobat Motorcomcom, selain dalam matematika murni, permutasi dan kombinasi juga sering digunakan dalam statistik. Misalnya, dalam pengambilan sampel acak dari suatu populasi, kita mungkin ingin menghitung berapa banyak cara kita dapat mendapatkan sampel yang berbeda.

Jika kita memiliki populasi sebanyak 100 orang dan kita ingin membuat sampel acak sebanyak 10 orang, kita dapat menggunakan rumus kombinasi. \(100C10 = \frac{100!}{10!(100-10)!} \approx 17,310,309\). Jadi, ada lebih dari 17 juta cara yang berbeda untuk membuat sampel acak 10 orang dari populasi 100 orang tersebut.

Sobat Motorcomcom, semakin mendalam kita memahami permutasi dan kombinasi, semakin banyak pula penerapannya dalam berbagai aspek kehidupan. Terlepas dari apakah kita menyusun buku, memilih buah di toko, atau menghitung kemungkinan dalam permainan kartu, permutasi dan kombinasi memberikan landasan matematis untuk memahami variasi dan kemungkinan yang tak terbatas.

Sobat Motorcomcom, kita telah menjelajahi dasar-dasar permutasi dan kombinasi, tetapi mari kita tambahkan beberapa lapisan lebih dalam untuk memahami konsep ini dengan lebih baik. Permutasi dengan pengulangan dan kombinasi dengan pengulangan adalah varian lain yang menambahkan nuansa menarik dalam dunia kombinatorika matematika.

Permutasi dengan pengulangan terjadi ketika beberapa elemen dalam himpunan identik dan sulit untuk dibedakan satu sama lain. Misalnya, kita memiliki kata 'MATEMATIKA' dan ingin menghitung berapa banyak permutasi dari huruf-huruf ini. Karena beberapa huruf mungkin identik (misalnya, huruf 'A' yang muncul dua kali), kita perlu memperhitungkan permutasi dengan pengulangan.

Rumus untuk permutasi dengan pengulangan adalah \(nPr = \frac{n!}{n_1! \cdot n_2! \cdot \ldots \cdot n_k!}\), di mana \(n_1, n_2, \ldots, n_k\) adalah banyaknya elemen identik dalam himpunan.

Contoh praktisnya adalah kata 'MATEMATIKA'. Berapa banyak cara kita dapat menyusun huruf-huruf ini? Kita dapat melihat bahwa 'M' muncul dua kali dan 'A' muncul tiga kali. Jadi, permutasi dengan pengulangan adalah \(10P2 \cdot 3! = \frac{10!}{2! \cdot 3!} = 151,200\).

Kombinasi dengan pengulangan, di sisi lain, terjadi ketika kita ingin memilih beberapa elemen dari himpunan di mana beberapa elemen mungkin identik dan urutan tidaklah penting. Rumusnya adalah \(nCr = \frac{(n+r-1)!}{r! \cdot (n-1)!}\), di mana \(n\) adalah jumlah elemen dalam himpunan dan \(r\) adalah banyaknya elemen yang akan kita pilih.

Contoh sederhana adalah jika kita ingin memilih tiga buah buah dari apel ('A'), pisang ('B'), dan ceri ('C'). Kombinasi dengan pengulangan dalam hal ini adalah \(3C3 = \frac{(3+3-1)!}{3! \cdot (3-1)!} = 15\). Jadi, ada lima belas cara berbeda untuk memilih tiga buah dari ketiga jenis buah tersebut.

Sobat Motorcomcom, permutasi dan kombinasi juga muncul dalam teori probabilitas. Mari kita bayangkan kita memiliki satu dadu enam sisi yang dilempar dua kali. Berapa banyak hasil yang mungkin kita dapatkan?

Jika kita ingin menghitung semua hasil yang mungkin, ini melibatkan permutasi, karena urutan lemparan penting. Jumlah permutasi untuk dilempar dua kali adalah \(6P2 = \frac{6!}{(6-2)!} = 30\). Jadi, ada 30 hasil yang mungkin dari dua lemparan dadu tersebut.

Sekarang, jika kita hanya ingin tahu berapa banyak kombinasi yang mungkin (tanpa memperhatikan urutan), ini melibatkan rumus kombinasi. \(6C2 = \frac{6!}{2! \cdot (6-2)!} = 15\). Jadi, ada 15 kombinasi yang berbeda dari dua lemparan dadu tersebut.

Sobat Motorcomcom, dalam kehidupan sehari-hari, kita sering dihadapkan pada situasi di mana permutasi dan kombinasi berperan. Misalnya, saat membuat sandi PIN yang terdiri dari empat angka unik, kita sebenarnya membuat permutasi dari angka 0 hingga 9.

Dalam hal ini, kita dapat menggunakan rumus permutasi untuk menghitung berapa banyak PIN yang berbeda yang dapat kita buat. \(10P4 = \frac{10!}{(10-4)!} = 5040\). Jadi, ada 5040 kombinasi PIN yang berbeda yang dapat kita buat.

Sobat Motorcomcom, aplikasi lain permutasi dan kombinasi dapat ditemui dalam dunia komputer, khususnya dalam algoritma dan struktur data. Ketika mengatasi pengaturan data atau pencarian yang melibatkan pemilihan dan pengurutan elemen, pemahaman tentang permutasi dan kombinasi dapat membantu pengembang membuat solusi yang efisien dan efektif.

Ketika kita mengetahui cara menghitung permutasi dan kombinasi, ini membuka pintu untuk memecahkan berbagai masalah yang mungkin kita temui di sekitar kita, baik itu dalam konteks matematika murni, statistik, probabilitas, atau pemrograman komputer.

Sobat Motorcomcom, kita telah menjelajahi dasar-dasar permutasi dan kombinasi, serta memahami bagaimana konsep ini dapat diterapkan dalam berbagai situasi kehidupan. Dengan perhitungan matematis yang teliti, kita dapat mengukur kemungkinan dan variasi dengan lebih baik, membuka wawasan tentang keajaiban angka dan kemungkinan yang melingkupi kita sehari-hari.

Sebagai kesimpulan, mari terus menjelajahi keindahan matematika dan menerapkan pengetahuan kita tentang permutasi dan kombinasi dalam berbagai aspek kehidupan. Sampai jumpa kembali di artikel menarik lainnya, Sobat Motorcomcom!

Sampai Jumpa Kembali, Sobat Motorcomcom!

Terima kasih telah menyimak perjalanan kita dalam dunia permutasi dan kombinasi. Sampai jumpa kembali di artikel menarik lainnya, Sobat Motorcomcom! Tetaplah bersemangat dan terus eksplorasi dunia matematika yang menyenangkan. Salam sejahtera!