Berikan contoh bilangan supremum, infimum, keterbatasan barisan, dan kemonotonan barisan!

Berikan contoh bilangan supremum, infimum, keterbatasan barisan, dan kemonotonan barisan!

Jawaban:

Bilangan Supremum dan Infimum

Bilangan supremum (supremum) adalah batas atas terkecil dari suatu himpunan bilangan. Dalam kata lain, supremum adalah bilangan terbesar yang masih lebih kecil atau sama dengan semua elemen himpunan tersebut. Contohnya, jika kita memiliki himpunan bilangan real positif {1, 2, 3}, maka supremumnya adalah 3.

Bilangan infimum (infimum) adalah batas bawah terbesar dari suatu himpunan bilangan. Dalam kata lain, infimum adalah bilangan terkecil yang masih lebih besar atau sama dengan semua elemen himpunan tersebut. Contohnya, jika kita memiliki himpunan bilangan real positif {1, 2, 3}, maka infimumnya adalah 1.

Keterbatasan Barisan

Keterbatasan barisan adalah konsep yang digunakan untuk menggambarkan perilaku barisan saat suku-sukunya mendekati suatu nilai tertentu. Jika suatu barisan memiliki batas, maka barisan tersebut dikatakan konvergen. Jika tidak memiliki batas, maka barisan tersebut dikatakan divergen.

Contoh keterbatasan barisan adalah barisan {1, 1/2, 1/4, 1/8, ...}. Barisan ini memiliki batas 0 karena suku-sukunya semakin mendekati 0 saat n menuju tak hingga.

Kemonotonan Barisan

Kemonotonan barisan mengacu pada pola pertumbuhan atau penurunan suku-suku barisan. Ada dua jenis kemonotonan barisan, yaitu kemonotonan monotonik naik dan monotonik turun.

Barisan dikatakan monotonik naik jika setiap suku berikutnya lebih besar atau sama dengan suku sebelumnya. Contohnya adalah barisan {1, 2, 3, 4, ...}.

Barisan dikatakan monotonik turun jika setiap suku berikutnya lebih kecil atau sama dengan suku sebelumnya. Contohnya adalah barisan {4, 3, 2, 1, ...}.

Namun, perlu diingat bahwa tidak semua barisan memiliki kemonotonan. Ada juga barisan yang tidak monotonik, yaitu barisan yang tidak memiliki pola pertumbuhan atau penurunan yang konsisten.

Catatan:

Cara Menemukan Supremum dan Infimum:

Supremum:

Cari batas atas himpunan, yaitu bilangan yang lebih besar atau sama dengan setiap elemen himpunan.

Temukan batas atas terkecil. Jika batas atas terkecil ini ada, maka itu adalah supremum.

Infimum:

Cari batas bawah himpunan, yaitu bilangan yang lebih kecil atau sama dengan setiap elemen himpunan.

Temukan batas bawah terbesar. Jika batas bawah terbesar ini ada, maka itu adalah infimum.

Apakah Semua Himpunan yang Terbatas Memiliki Infimum dan Supremum?

Tidak, tidak semua himpunan yang terbatas memiliki infimum dan supremum. Himpunan tersebut harus memenuhi dua kondisi:

Terbatas Atas (Upper Bounded): Ada batas atas yang lebih besar atau sama dengan setiap elemen himpunan.

Non-empty (Tidak Kosong): Himpunan tidak boleh kosong.

Perbedaan Antara Infimum dan Minimum:

Infimum (Inf): Infimum dari suatu himpunan adalah batas bawah terbesar dari himpunan tersebut. Infimum mungkin atau mungkin tidak ada, dan jika ada, tidak selalu tercapai oleh elemen di dalam himpunan.

Minimum (Min): Minimum adalah elemen terkecil dalam suatu himpunan. Jika suatu himpunan memiliki minimum, maka itu juga merupakan infimum, tetapi setiap infimum tidak selalu menjadi minimum.

Jadi, semua minimum adalah infimum, tetapi tidak semua infimum adalah minimum. Minimum hanya ada jika ada elemen di dalam himpunan yang mencapai nilai terkecil. Infimum, di sisi lain, bisa menjadi nilai yang tidak dicapai oleh elemen manapun dalam himpunan.