Dalam remaja karang taruna setelah dilakukan survey terhadap kegemaran olahraga

 Pertanyaan

Dalam remaja Karang Taruna di setelah dilakukan survey terhadap kegemaran olahraganya diperoleh data sebagai berikut, 20 siswa gemar bola voli, 25 siswa gemar sepak bola, 23 siswa gemar bulu tangkis, 8 siswa gemar bola voli dan sepak bola, 10 siswa gemar bola voli dan bulu tangkis, 12 siswa gemar sepak bola dan bulu tangkis, 4 siswa gemar ketiganya, serta 2 anak tidak gemar ketiganya. Banyaknya remaja di Karang Taruna tersebut adalah ....  

a. 40

b. 42

c. 44

d. 46

Jawaban yang tepat adalah c. 44

Mari kita gunakan prinsip dasar teori himpunan (teori himpunan) untuk menyelesaikan masalah ini. Kita dapat menghitung jumlah total remaja di Karang Taruna dengan menjumlahkan semua elemen yang disebutkan dalam data:

Jumlah siswa yang gemar bola voli: 20

Jumlah siswa yang gemar sepak bola: 25

Jumlah siswa yang gemar bulu tangkis: 23

Jumlah siswa yang gemar bola voli dan sepak bola: 8

Jumlah siswa yang gemar bola voli dan bulu tangkis: 10

Jumlah siswa yang gemar sepak bola dan bulu tangkis: 12

Jumlah siswa yang gemar ketiganya (bola voli, sepak bola, bulu tangkis): 4

Jumlah siswa yang tidak gemar ketiganya: 2

Sekarang kita dapat menggunakan prinsip inklusi dan eksklusi untuk menghitung jumlah total remaja. Rumusnya adalah sebagai berikut:

Jumlah Total Remaja = (Jumlah A) + (Jumlah B) + (Jumlah C) - (Jumlah A dan B) - (Jumlah A dan C) - (Jumlah B dan C) + (Jumlah A, B, dan C) + (Jumlah yang tidak gemar ketiganya)

Dengan menggantikan nilai-nilai dari data yang diberikan:

Jumlah Total Remaja = 20 + 25 + 23 - 8 - 10 - 12 + 4 + 2

Jumlah Total Remaja = 44

Jadi, banyaknya remaja di Karang Taruna tersebut adalah 44.

Soal di atas berkaitan dengan konsep matematika yang dikenal sebagai "Teori Himpunan" dan "Prinsip Inklusi-Eksklusi". Ini adalah bagian dari mata pelajaran matematika di sekolah.

Teori Himpunan: Teori Himpunan adalah cabang matematika yang berkaitan dengan himpunan, yaitu kumpulan objek atau elemen-elemen tertentu. Dalam soal ini, elemen-elemen tersebut adalah siswa-siswa dengan minat olahraga tertentu (bola voli, sepak bola, bulu tangkis). Teori Himpunan membantu kita mengklasifikasikan, menggambarkan relasi, dan menganalisis properti himpunan-himpunan ini.

Prinsip Inklusi-Eksklusi: Prinsip ini adalah alat yang digunakan untuk menghitung jumlah elemen di gabungan beberapa himpunan, dengan mempertimbangkan interaksi antara himpunan-himpunan tersebut. Ini membantu kita menghindari menghitung beberapa elemen dua kali dan mengabaikan elemen-elemen yang tidak perlu. Prinsip ini sangat berguna dalam menghitung elemen-elemen yang termasuk atau tidak termasuk dalam beberapa himpunan.

Dalam soal di atas, digunakan prinsip inklusi-eksklusi untuk menghitung jumlah total remaja dengan mempertimbangkan siswa-siswa yang memiliki minat olahraga tertentu dan hubungan antara minat-minat tersebut. Ini adalah contoh nyata bagaimana konsep matematika dapat diterapkan dalam situasi dunia nyata, seperti menghitung jumlah siswa dengan minat olahraga berbeda.

Prinsip Inklusi-Eksklusi adalah alat matematika yang berguna dalam menghitung ukuran dari gabungan beberapa himpunan, dengan memperhitungkan bagaimana himpunan-himpunan tersebut tumpang tindih satu sama lain. Prinsip ini menghindari penghitungan ganda dan memperhitungkan semua elemen yang terlibat. Prinsip ini dapat diuraikan dalam beberapa langkah:

Inklusi: Hitung ukuran dari setiap himpunan individu.

Eksklusi: Kurangkan ukuran dari setiap pasangan tumpang tindih (misalnya, A dan B, A dan C, B dan C).

Re-inklusi: Tambahkan ukuran dari tumpang tindih tiga himpunan (A, B, dan C).

Rumus umum untuk Prinsip Inklusi-Eksklusi adalah:

|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| - |A ∩ B| - |A ∩ C| - |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|

Dalam soal yang Anda berikan, kita menggunakan prinsip ini untuk menghitung jumlah total remaja yang memiliki minat dalam beberapa olahraga. Dalam langkah-langkahnya:

|A| adalah jumlah siswa yang gemar bola voli.

|B| adalah jumlah siswa yang gemar sepak bola.

|C| adalah jumlah siswa yang gemar bulu tangkis.

|A ∩ B| adalah jumlah siswa yang gemar bola voli dan sepak bola.

|A ∩ C| adalah jumlah siswa yang gemar bola voli dan bulu tangkis.

|B ∩ C| adalah jumlah siswa yang gemar sepak bola dan bulu tangkis.

|A ∩ B ∩ C| adalah jumlah siswa yang gemar ketiga olahraga.

Jumlah yang tidak gemar ketiganya sudah dihitung.

Dengan menggunakan prinsip ini, kita dapat menghitung jumlah total remaja dengan mempertimbangkan semua tumpang tindih antara himpunan-himpunan minat olahraga tersebut.