Panjang proyeksi vektor a pada b

Panjang proyeksi vektor a pada b - 

Pertanyaan!

Tentukan panjang proyeksi vektor a=2i+2j+k pada vektor b=2i+10j-11k!

Jawaban:

Untuk menentukan panjang proyeksi vektor a pada vektor b, kita perlu menghitung proyeksi vektor a ke arah vektor b terlebih dahulu. Proyeksi vektor a pada vektor b dapat dihitung menggunakan rumus:

proj_b(a) = (a . b) / |b|

di mana a . b adalah hasil perkalian dot (skalar) antara vektor a dan vektor b, dan |b| adalah panjang (magnitude) dari vektor b.

Dalam hal ini, vektor a = 2i + 2j + k dan vektor b = 2i + 10j - 11k. Mari kita hitung hasilnya:

a . b = (2 * 2) + (2 * 10) + (1 * -11) = 4 + 20 - 11 = 13

|b| = √(2^2 + 10^2 + (-11)^2) = √(4 + 100 + 121) = √225 = 15

Menggantikan nilai-nilai tersebut ke dalam rumus, kita dapat menghitung panjang proyeksi vektor a pada vektor b:

proj_b(a) = (a . b) / |b| = 13 / 15

Jadi, panjang proyeksi vektor a pada vektor b adalah 13/15 atau sekitar 0.8667.

Soal tersebut berhubungan dengan topik dalam matematika yang dikenal sebagai vektor. Vektor adalah besaran yang memiliki magnitude (panjang) dan arah. Dalam soal ini, kita diberikan dua vektor, yaitu vektor a dan vektor b, yang ditentukan oleh komponen-komponen mereka dalam sistem koordinat kartesian (misalnya, vektor a = 2i + 2j + k).

Pada dasarnya, proyeksi vektor adalah pengukuran sejauh mana suatu vektor tertentu "jatuh" pada vektor lainnya. Dalam kasus ini, kita diminta untuk menentukan panjang proyeksi vektor a pada vektor b.

Untuk menghitung proyeksi vektor, kita menggunakan operasi perkalian dot (dot product) antara vektor a dan vektor b. Perkalian dot menghasilkan hasil skalar yang merepresentasikan sejauh mana dua vektor saling "berkaitan" atau "berarah" satu sama lain.

Dengan membagi hasil perkalian dot antara vektor a dan vektor b dengan panjang (magnitude) vektor b, kita mendapatkan panjang proyeksi vektor a pada vektor b.

Jadi, soal ini berhubungan dengan konsep-konsep dasar dalam aljabar linier dan geometri vektor, yang memiliki banyak aplikasi dalam berbagai bidang, seperti fisika, rekayasa, dan ilmu komputer.

Selain itu, konsep proyeksi vektor juga berhubungan dengan topik-topik lain dalam matematika seperti geometri analitik dan trigonometri. Proyeksi vektor dapat digunakan untuk memecahkan masalah tentang pemetaan, rotasi, atau perhitungan sudut antara vektor-vektor.

Selain panjang proyeksi vektor, kita juga dapat menghitung proyeksi vektor dalam bentuk vektor itu sendiri. Proyeksi vektor dalam bentuk vektor adalah vektor yang memiliki arah yang sama dengan vektor yang diproyeksikan, tetapi memiliki panjang yang sesuai dengan proyeksi tersebut. Untuk menghitung proyeksi vektor dalam bentuk vektor, kita menggunakan rumus:

proj_b(a) = ((a . b) / |b|^2) * b

di mana ((a . b) / |b|^2) adalah skalar yang mengukur sejauh mana vektor a diproyeksikan ke arah vektor b, dan b adalah vektor yang diproyeksikan.

Dalam soal sebelumnya, kita hanya mencari panjang proyeksi vektor a pada vektor b. Namun, jika ingin mencari proyeksi vektor a dalam bentuk vektor, kita dapat mengalikan rumus di atas dengan vektor b.

Misalnya, jika kita ingin mencari proyeksi vektor a pada vektor b dalam bentuk vektor, maka hasilnya akan menjadi vektor dengan arah yang sama dengan vektor b dan memiliki panjang sesuai dengan proyeksi tersebut.

Demikian artikel kali ini di motorcomcom jangan lupa simak artikel menarik lainnya disini.